Αν έχεις ασχοληθεί με τυχερά παιχνίδια — έστω και λίγο — ίσως ένιωσες πως όλα είναι εναντίον σου. Έπαιξες under και μπήκαν δύο γκολ στις καθυστερήσεις. Στο blackjack, ο dealer έφερνε διαρκώς 21. Είχες χρώμα και ο αντίπαλος έπιασε 2 σερί φύλλα για full house. Εκείνη τη στιγμή, όλα μοιάζουν άδικα. Στημένα. Σαν να σε κυνηγάει η γκίνια. Σαν να είσαι ο πιο άτυχος άνθρωπος στον πλανήτη.

Δεν είσαι μόνος.

Τα τελευταία χρόνια, η ενασχόληση με τυχερά παιχνίδια έχει αυξηθεί κατακόρυφα, ιδιαίτερα σε νεαρές ηλικίες — τόσο στην Ελλάδα όσο και παγκοσμίως. Αν πάρεις δέκα εικοσάρηδες στην τύχη, είναι σχεδόν βέβαιο πως τουλάχιστον ένας παίζει συστηματικά: φρουτάκια, στοίχημα, ρουλέτα. Κι αν τους ρωτήσεις, σχεδόν όλοι δηλώνουν “λίγο συν” — κανείς δεν χάνει.

Οι περισσότεροι ξέρουν, έστω και διαισθητικά, πως “η μάνα πάντα κερδίζει”. Αλλά αυτή η αλήθεια λειτουργεί διπλά: από τη μία ως προειδοποίηση, από την άλλη ως παραίτηση. Δημιουργείται έτσι μια διαστρεβλωμένη δυαδικότητα: είτε κάτι είναι σίγουρο, είτε είναι τυχερό και άρα στημένο — όπως η ρουλέτα, τα φρουτάκια, ο “κουβάς”. Το αποτέλεσμα είναι ότι οτιδήποτε περιέχει αβεβαιότητα μπαίνει στο ίδιο τσουβάλι. Έχω βρεθεί σε κοινή παρέα με νέα άτομα που αντιμετωπίζουν το χρηματιστήριο σαν στοίχημα, απλώς επειδή “δεν είναι 100% σίγουρο”.

Τυχαίο το ένα, τυχαίο και το άλλο. Τι να έχεις μέση ετήσια απόδοση 10%, τι να παίξεις ένα «σιγουράκι» στο 1.10 — το ίδιο πράγμα, σωστά;

Αυτή η σύγχυση γύρω από την τυχαιότητα και το ρίσκο δεν είναι τυχαία. Προκύπτει από έναν φόβο που έχουμε, σχεδόν ενστικτωδώς, απέναντι στην αβεβαιότητα. Η λέξη «τζόγος» είναι τόσο φορτισμένη που ακούγεται προσβλητική. Έτσι, φοβόμαστε – και ό,τι φοβόμαστε δεν το αγγίζουμε, κι ό,τι δεν αγγίζουμε δεν το μαθαίνουμε.

Δεν μας κατηγορώ. Από την κατάρρευση του χρηματιστηρίου στις αρχές της χιλιετίας μέχρι τις οικονομικές κρίσεις και την ανασφάλεια των τελευταίων ετών, είναι απολύτως λογικό να είμαστε διστακτικοί. Όμως, τίποτα στη ζωή δεν είναι 100% προβλέψιμο. Κάθε απόφαση που παίρνουμε χωρίς πλήρη πληροφόρηση –δηλαδή σχεδόν όλες μας οι αποφάσεις– είναι ένα ρίσκο. Τζογάρουμε.

Απ’ το τι θα αγοράσεις στο σούπερ μάρκετ μέχρι το που θα επενδύσεις τα λεφτά σου ή πότε θα προσπαθήσεις να διασχίσεις τον δρόμο όλα είναι αποφάσεις που πρέπει να πάρεις χωρίς να γνωρίζεις με σιγουριά όλες τις πληροφορίες. Δεν ξέρεις αν το προιόν που αγόρασες έχει αλλεργιογόνα, αν οι μετοχές που θα αγοράσεις θα καταρρεύσουν αύριο ή αν ένα κοπάδι από λυσσασμένους ταύρους σε ποδοπατήσει καθώς περνάς τον δρόμο. Κάθε μας επιλογή είναι ένα στοίχημα, είναι τζόγος. Όσο καλύτερα καταλαβαίνεις το ρίσκο, όσο καλύτερος τζογαδόρος είσαι, τόσο καλύτερες αποφάσεις παίρνεις.

Με λένε Holden και σήμερα θα προσπαθήσουμε να βάλουμε σε τάξη στο χάος της τυχαιότητας. Θα δούμε τι σημαίνει πραγματικά ρίσκο, γιατί μια απόφαση μπορεί να είναι σωστή ή λάθος παρότι αβέβαιη, και πώς κάποιοι άνθρωποι — με γνώση, όχι τύχη — τολμούν να ρισκάρουν, και κερδίζουν.

Πάμε να ξεκινήσουμε.

Το κέρμα είναι πειραγμένο

Ας παίξουμε ένα παιχνίδι που όλοι λίγο-πολύ ξέρουμε: κορώνα-γράμματα. Βάζουμε και οι δύο από 10 ευρώ. Εγώ διαλέγω κορώνα, εσύ γράμματα. Ο νικητής παίρνει 20, ο χαμένος τα χάνει όλα.

Μικρή λεπτομέρεια: το κέρμα δεν είναι δίκαιο. Έρχεται κορώνα στο 51%

Λίγο άδικο ε;

Αυτό το παιχνίδι είναι ο πυρήνας όλης της θεωρίας που θα αναπτύξουμε. Αλλά πριν μπλέξουμε με εξισώσεις, ας δούμε τι συμβαίνει στην πράξη. Ας το προσομοιώσουμε για 100 ρίψεις και ας δούμε πώς εξελίσσεται το κέρδος κάθε παίκτη.

Παρατήρησε κάτι: όσο κερδίζω εγώ, τόσο χάνεις εσύ. Κλασικό zero-sum game — το κέρδος του ενός είναι η χασούρα του άλλου. Θα μιλήσουμε γι’ αυτά σε επόμενα επεισόδια.

Τι άλλο βλέπουμε εδώ; Με 100 ρίψεις, έχω κερδίσει σχεδόν 180 ευρώ. Από 10-10 κάθε φορά. Μόνο και μόνο επειδή το κέρμα είναι ελαφρώς υπέρ μου. Θα πεις:

“οκ, είναι σχεδόν 50/50 — κάποιες φορές θα κερδίζω κι εγώ”

Σωστά. Δεν είναι απίθανο να κερδίσεις, ακόμα και αν το παιχνίδι είναι ελαφρώς εναντίον σου. Να μια τέτοια περίπτωση:

Εδώ, ο παίκτης με το μειονέκτημα (γράμματα) βγήκε κερδισμένος. Γίνεται. Αλλά πόσο συχνά;

Αυτό μας οδηγεί στις δύο βασικές ερωτήσεις αυτού του επεισοδίου:

Αν παίξουμε αυτό το παιχνίδι 100 φορές, πόσο πιθανό είναι να βγεις κερδισμένος; Και πόσο θα είναι το μέσο κέρδος (ή ζημιά) σου στο τέλος;

Ο ελέφαντας στο δωμάτιο

Το έφερα απ’ εδώ κι απ’ εκεί μέχρι τώρα αλλά ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για πιθανότητες.

Ξέρεις ήδη τι σημαίνει. Ένα κέρμα έρχεται 50% κορώνα, ένα ζάρι έχει 1 στις 6 να φέρει άσσο. Έχεις μια διαίσθηση. Εδώ όμως θα χτίσουμε κάτι πιο σταθερό, γιατί η πιθανότητα είναι το βασικό εργαλείο που θα χρησιμοποιούμε — και πρέπει να μιλάμε την ίδια γλώσσα.

Όταν εκτελούμε ένα τυχαίο πείραμα υπάρχουν πολλά πιθανά αποτελέσματα. Ρίχνουμε ένα ζάρι, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι από 1 μέχρι 6. Το σύνολο όλων αυτών ονομάζεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με $\Omega$. Για ένα ζάρι:

\[\begin{equation} \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}. \end{equation}\]

Τα ενδεχόμενα είναι τα γεγονότα για τα οποία μπορούμε να ποντάρουμε: “θα φέρω άσσο”, “θα έρθει ζυγός”, “θα φέρει αριθμό κάτω του 4” — όλα αυτά είναι υποσύνολα του $\Omega$. Αν τα συγκεντρώσουμε όλα, σχηματίζουμε τον χώρο ενδεχομένων, $\mathcal{F}$.

Η πιθανότητα \(P\) είναι απλά ένας μηχανισμός που δίνει σε αυτά τα ενδεχόμενα ένα σκορ ανάλογα με το πόσο συχνά περιμένουμε να συμβούν. Το σκορ είναι ένας αριθμός από 0 έως 1, ή αλλιώς από 0% έως 100%. Θέλουμε απλά τρία πράγματα απ’ αυτόν τον μηχανισμό:

1. 
   1. Η πιθανότητα δεν είναι ποτέ αρνητική:
   $$P(E) \geq 0, \quad \forall E \in \mathcal{F}$$
2. 2. Η βεβαιότητα ισούται με 1:
   Αν ρίξεις το ζάρι, θα φέρει έναν αριθμό από το 1 έως το 6 — αυτό είναι βέβαιο. Άρα: $$P(\Omega) = 1$$
3. 3. Κανόνας αθροίσματος για ασυμβίβαστα ενδεχόμενα:
   Η πιθανότητα να φέρεις ζυγό (2 ή 4 ή 6) είναι: $$P(\text{Ζυγός}) = P(2) + P(4) + P(6)$$ Γενικά: $$P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(E_i), \quad \text{αν } E_i \cap E_j = \emptyset$$

Αυτό είναι όλο, η πιθανότητα είναι ένας μηχανισμός που αποδίδει ένα σκορ σε κάθε τι που μπορεί να συμβεί και έχει 3 απλούς κανόνες. Στην θεωρία πιθανοτήτων, οι 3 αυτοί κανόνες αποτελούν την αξιωματική θεμελίωση της πιθανότητας του Kolmogorov

Όταν λέμε ότι η πιθανότητα να φέρει ένα ζάρι άσσο είναι 1/6, εννοούμε το εξής: αν το ρίξουμε 600 φορές, περιμένουμε περίπου 100 απ’ αυτές να φέρει άσσο. Αυτή είναι η συχνιστική ερμηνεία της πιθανότητας — η πιο απλή, και αυτή που θα χρησιμοποιούμε εδώ.

Υπάρχουν κι άλλες προσεγγίσεις. Αλλά προς το παρόν, σκέψου την πιθανότητα σαν ένα ποσοστό εμφάνισης σε πολλές επαναλήψεις.

Προσεγγίζοντας την Χασούρα

Ας εφαρμόσουμε το παραπάνω στο παιχνίδι μας ώστε να δούμε πόσο πιθανό είναι αν διαλέγουμε γράμματα να βγούμε κερδισμένοι μετά από αρκετές ρίψεις. Αυτή την πιθανότητα μπορούμε να την υπολογίσουμε ακριβώς, ωστόσο ο υπολογισμός απαιτεί εργαλεία που δεν μας είναι ακόμα διαθέσιμα, υπομονή.

Αντι να υπολογίσουμε την πιθανότητα με ακρίβεια λοιπόν θα κάνουμε το εξής. Θα παίξουμε το παιχνίδι 100 φορές, ξανά και ξανά. Σε κάθε προσομοίωση, μετράμε: βγήκαμε κερδισμένοι ή όχι; Στο τέλος, κοιτάμε το ποσοστό των φορών που ήμασταν συν. Αυτό είναι η συχνιστική μας προσέγγιση στην πιθανότητα — και η βάση της μεθόδου Monte Carlo, που θα χρησιμοποιούμε συχνά.

Ας παίξουμε 100 φλίπες με 49% πιθανότητα επιτυχίας κάθε φορά και ας δούμε πόσο συχνά θα είμαστε κερδισμένοι στο τέλος.

Έχεις μόλις 1% μειονέκτημα. Κι όμως, η πιθανότητα να βγεις κερδισμένος είναι κάτω από 40%. Όχι τραγικό — προς το παρόν.

Ας μεγαλώσουμε λίγο τον χρονικό ορίζοντα. Τι γίνεται σε 1000 ρίψεις;

Η πιθανότητα νίκης έπεσε στις 3 στις 10. Και όσο προχωράμε…

Καταρρέει. Σε 10.000 ρίψεις, η πιθανότητα να είσαι έστω και λίγο κερδισμένος είναι πρακτικά μηδέν. Αυτό είναι και το πρώτο συμπέρασμα απ’ το παιχνίδι μας.

Όταν παίζουμε στοίχημα με μειονέκτημα, όσο μικρό και αν είναι αυτό, όσο λιγότερο παίξουμε τόσο το καλύτερο για εμάς. Όσο κυνηγάμε τις ήττες μας τόσο μικρότερη θα είναι η πιθανότητα να βγούμε κερδισμένοι στο τέλος. Το μόνο κερδισμένο σενάριο είναι να μην μπεις ποτέ — ή να φύγεις όσο είναι ακόμα νωρίς.

Ας δούμε τώρα κάτι άλλο. Αν κρατήσουμε σταθερές τις 100 ρίψεις και μεγαλώσουμε το μειονέκτημα, τι συμβαίνει;

Μόλις αυξήσαμε το πλεονέκτημα της κορώνας κατά 4%. Και η πιθανότητα να είσαι συν; Μόλις 10%. Δηλαδή 9 στις 10 φορές — χασούρα.

Και τώρα, με 60% για κορώνα:

Τέλος παιχνιδιού. Σε μόλις 100 ρίψεις, έχεις μηδενική ελπίδα. Θυμίσου: όταν το μειονέκτημα ήταν 1%, χρειάζονταν 10.000 ρίψεις για να σε ισοπεδώσει. Με 10% μειονέκτημα, 100 αρκούν.

Expected Value

Ξέρουμε ήδη πως παίζει η πιθανότητα να είμαστε κερδισμένοι μετά από πολλά παιχνίδια. Τι μας λέει, όμως, αυτό για το τελικό αποτέλεσμα; Είδαμε ότι, παίζοντας γράμματα σε ένα νόμισμα που φέρνει κορώνα με πιθανότητα 51%, έχουμε ένα μικρό μειονέκτημα – μόλις 1%. Κι όμως, όσο περισσότερες φορές παίζουμε, τόσο μικραίνει η πιθανότητα να βγούμε κερδισμένοι. Ξέρουμε λοιπόν ότι κατά πάσα πιθανότητα θα χάσουμε. Αυτό όμως από μόνο του δεν μας λέει πολλά. Ενδεχομένως να χάνουμε περισσότερες φορές απ’ ό,τι κερδίζουμε αλλά τις φορές που κερδίζουμε να είμαστε τόσο κερδισμένοι όπου να εξουδετερώνεται η χασούρα.

Είναι λογικό να αναρωτηθούμε πόσο κερδισμένοι ή χαμένοι θα είμαστε κατά μέσο όρο στο τέλος των 100 ρίψεων. Για να απαντήσουμε, ας δούμε έναν υπολογισμό.

Αν παίξουμε 100 φορές, περιμένουμε — κατά προσέγγιση — να φέρουμε κορώνα 51 φορές και γράμματα 49 φορές. Εννοείται πως στην πράξη δεν θα είναι ακριβώς έτσι, αλλά μας αρκεί για τον υπολογισμό.

\[\begin{gather*} \text{Κορώνα}: 51 \text{ φορές} \cdot 10 \text{€} = 510 \text{€} \\ \text{Γράμματα}: 49 \text{ φορές} \cdot (–10 \text{€}) = –490 \text{€} \\ \text{Συνολικό κέρδος}: 510 - 490 = 20 \text{€} \\ \text{Κέρδος ανά ρίψη}: 20 \text{€} / 100 = 0,20 \text{€} \end{gather*}\]

Τι εννοούμε όταν λέμε ότι το κέρδος μας είναι 20 λεπτά ανά ρίψη; Υπάρχει περίπτωση να κερδίσουμε μια ρίψη νομίσματος και να ανταμειφθούμε με ακριβώς 20 λεπτά; Προφανώς και όχι. Κάθε φορά είτε κερδίζουμε είτε χάνουμε 10 ευρώ. Αυτό που εννοούμε λέγοντας ότι βγάζουμε 20 λεπτά ανά ρίψη είναι πως αν παίξουμε αυτό το παιχνίδι πάρα πολλές φορές, κατά μέσο όρο το κέρδος ανά ρίψη που θα έχουμε θα είναι 20 λεπτά.

Αυτή η ιδέα είναι η καρδιά της θεωρίας πιθανοτήτων: ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος όταν το επαναλαμβάνεις πολλές φορές. Αυτή είναι η αναμενόμενη τιμή (expected value) ή αλλιώς EV.

Ας την γράψουμε επίσημα:

\[\begin{equation} \text{EV}=P(\text{Κέρδος}) \cdot \text{Κέρδος}+ P(\text{Χασούρα}) \cdot \text{Ζημία} \end{equation}\]

Στο παράδειγμά μας έχουμε:

\[\begin{equation} EV=0.51 * 10 + 0.49 * (−10)=5.1−4.9=+0,20 \text{€ ανά ρίψη} \end{equation}\]

Η μέση τιμή (EV) είναι το βασικό εργαλείο για να αξιολογείς το ρίσκο, αν το να ρισκάρεις εδώ αξίζει τον κόπο. Όταν το EV είναι θετικό, λέμε ότι το στοίχημα είναι +EV – περιμένεις να κερδίσεις μακροπρόθεσμα. Αν είναι αρνητικό, είναι –EV — θα χάνεις στο βάθος του χρόνου. Εδώ, ποντάροντας κορώνα έχουμε +EV. Ποντάροντας γράμματα, –EV.

Στο πνεύμα της αγαπημένης μας πλέον μεθόδου - Monte Carlo - θα κάνουμε ένα ακόμα πείραμα, απ’ την μεριά του παίκτη που επιλέγει κορώνα αυτή την φορά. Θα παίξουμε πάλι 100 ρίψεις με 51% πιθανότητα να φέρουμε κορώνα και θα μετρήσουμε τα λεφτά που βγάλαμε. Στο τέλος, θα υπολογίσουμε τον μέσο όρο μέσω του ακόλουθου τύπου:

\[\begin{equation} \frac{\text{Συνολικό Κέρδος}}{100 \text{(Πλήθος Ρίψεων)}} \end{equation}\]

Στην αρχή, όλα μοιάζουν τυχαία — το μέσο κέρδος πηδάει δεξιά κι αριστερά σαν να μην υπάρχει σχέδιο. Όσο περισσότερο παίξουμε ωστόσο βλέπουμε ότι το μέσο κέρδος μας συγκλίνει προς αυτό που υπολογίσαμε παραπάνω (20 λεπτά ανά ρίψη). Αυτό το φαινόμενο ότι το μέσο κέρδος πλησιάζει ένα συγκεκριμένο νούμερο όσο παίζουμε πολλές φορές δεν είναι τυχαίο. Στην θεωρία πιθανοτήτων λέγεται νόμος των μεγάλων αριθμών και αποτελεί τον λόγω που το EV είναι τόσο σημαντικό νούμερο για την αξιολόγηση του ρίσκου.

Όσο περισσότερο παίζουμε τόσο περισσότερο τα κέρδη μας θα προσεγγίζουν το θεωρητικό μέσο κέρδος που υπολογίσαμε. Συνεπώς, αν βρίσκεσαι σε μια κατάσταση με θετική αναμενόμενη τιμή (+EV), σε συμφέρει να συνεχίσεις να παίζεις όσο περισσότερο γίνεται. Δεν έχει σημασία αν ήσουν άτυχος στις πρώτες 10 ή 100 ρίψεις — αν συνεχίσεις, με μαθηματική βεβαιότητα στο τέλος θα είσαι κερδισμένος. Η πιθανότητα να είσαι χαμένος, όσο ο αριθμός των παιχνιδιών τείνει στο άπειρο, είναι μηδέν. Αντίστροφα, σε μια -EV κατάσταση, όσο συνεχίζεις να παίζεις, τα χρήματά σου θα μειώνονται σταθερά, μέχρι να τα χάσεις όλα κάτι το οποίο θα συμβεί με απόλυτη βεβαιότητα.

Adverse Selection

Θα μιλήσουμε για adverse selection αναλυτικά στο μέλλον, αλλά αφού μιλάμε για EV, αξίζει μια πρώτη ματιά. Φαντάσου το ακόλουθο σενάριο:

Παίζεις μπιλιάρδο και είσαι σχετικά καλός. Υπολογίζεις ότι μπορείς να κερδίσεις το 90% των παικτών σε ένα τυχαίο μαγαζί. Πας λοιπόν σε ένα μπιλιαρδάδικο, και κάποιος σου προτείνει να παίξετε ένα ματς για 10 ευρώ. Σκέφτεσαι λοιπόν:

"Έχω 90% πιθανότητα να κερδίσω, συνεπώς $0.9 \cdot 10 + 0.1 \cdot (–10) = +8$ ευρώ. Ξεκάθαρα +EV!"

Λάθος.

Το λάθος είναι στην υπόθεση. Αυτός ο παίκτης δεν είναι ένα τυχαίο δείγμα του πληθυσμού όπου έχεις 90% να κερδίσεις. Δεν έπεσε από τον ουρανό. Σε παρακολούθησε, σε μέτρησε, και τώρα έρχεται να πάρει τα λεφτά σου. Δεν θα σου πρότεινε στοίχημα αν δεν πίστευε ότι έχει πλεονέκτημα.

Μπορεί να είναι απλώς κάποιος απελπισμένος τζογαδόρος; Κάποις που ήθελε οπωσδήποτε να παίξει για λεφτά και έτυχε να ήσουν ο πρώτος που βρήκε; Σίγουρα δεν είναι απίθανο, δεν θα έβαζα τα λεφτά μου εκεί ωστόσο. Η ορθολογική σου στάση σε κάθε τέτοια πρόταση πρέπει να είναι:

«Γιατί αυτός μου προτείνει αυτό το στοίχημα;»

Σχεδόν πάντα η απάντηση είναι:

«Επειδή θεωρεί ότι έχει πλεονέκτημα».

Το ίδιο ισχύει και στο καζίνο. Αν υπάρχει τραπέζι διαθέσιμο, δεν είναι επειδή έχεις εσύ πλεονέκτημα. Είναι επειδή δεν έχεις. Αν ήταν +EV για σένα, θα το είχαν ήδη κλείσει. Όλο το μοντέλο του καζίνο χτίζεται πάνω στο να σε αφήνει να παίζεις παιχνίδια που χάνεις με μαθηματική βεβαιότητα.

Ναι, μπορεί να κερδίσεις. Και με 49% πιθανότητα να έρχεται το νόμισμα γράμματα, μπορείς να βγεις μπροστά. Αλλά όσο περισσότερο παίζεις, τόσο πιο σίγουρα θα χάσεις. Και όταν αρχίσουν να σου προσφέρουν δωρεάν φαγητό, ποτά, δωμάτια ή free spins — μάντεψε. Δεν είναι φιλοξενία. Θέλουν απλά να μείνεις εκεί ακριβώς που είσαι. Περιμένουν ο νόμος των μεγάλων αριθμών να κάνει τα μαγικά του.

Λέγοντας όλα αυτά λογικά θα σκέφτεσαι πως πιό πιθανό είναι κάποιος να δεχτεί να του κόψεις τα πόδια παρά να στρίψει το νόμισμα με μειονέκτημα. Ακόμα και αν το νόμισμα ήταν δίκαιο, δεν έχει νόημα να παίξει κανείς αν το μέσο κέρδος ειναι 0 μακροπρόθεσμα. Και όντως — αν το EV είναι μηδέν, δεν υπάρχει λόγος να ασχοληθείς.

Στην πραγματικότητα όμως αυτό συμβαίνει συνεχώς. Οι άνθρωποι μπαίνουν καθημερινά σε καταστάσεις με αρνητική αναμενόμενη τιμή — συχνά χωρίς καν να το καταλαβαίνουν.

Ρουλέτα

Ποιος δεν έχει παίξει ρουλέτα έστω και μία φορά; Ακόμα κι εγώ — που έχω μιλήσει τόση ώρα για EV και πιθανότητες — έχω βρεθεί σε καζίνο με φίλους και έχω παίξει. Ενώ ήξερα ότι είμαι σε μειονεκτική θέση.

Αν έχεις πάει ποτέ σε καζίνο, έχεις δει το σκηνικό: παίκτες γύρω απ’ το τραπέζι, καθένας με το δικό του “σύστημα”. Κάποιοι απλώνουν τις μάρκες τους σε ολόκληρο το τραπέζι σαν να ζωγραφίζουν. Κάποιοι κυνηγάνε ορφανά – ακόμα δεν είμαι σίγουρος τι εννοούν. Άλλοι κοιτούν την οθόνη με τους hot numbers λες και μελετάνε χρηματιστηριακά γραφήματα. Όλοι αναζητούν το ίδιο: μια στρατηγική που δουλεύει. Που θα τους κάνει να σπάσουν τη ρουλέτα.

Πάμε λοιπόν να δούμε τη ρουλέτα χρησιμοποιώντας τα εργαλεία που έχουμε. Ξεκινάμε με την απλή παραλλαγή: κόκκινο ή μαύρο. Αν είσαι νορμάλ άνθρωπος και δεν ξέρεις ακριβώς πως δουλεύει η ρουλέτα εξηγώ σύντομα:

Η ευρωπαϊκή ρουλέτα έχει 37 αριθμούς — από το 0 έως το 36. Οι 18 είναι μαύροι, οι άλλοι 18 κόκκινοι και το 0 είναι πράσινο. Στην αμερικανική ρουλέτα υπάρχει επιπλέον και το 00, αλλά προς το παρόν μένουμε στην ευρωπαϊκή. Το παιχνίδι είναι απλό: ο γκρουπιέρης ρίχνει τη μπίλια, εσύ ποντάρεις αν θα κάτσει σε κόκκινο ή μαύρο. Αν μαντέψεις σωστά, διπλασιάζεις το στοίχημά σου. Αν όχι, το χάνεις.

Ας υπολογίσουμε το EV του να ποντάρεις 10 ευρώ στο μαύρο:

\[\begin{equation} EV_{\text{Μαύρο}} = \frac{18}{37} \cdot 10 \text{€} + \frac{19}{37} \cdot (-10 \text{€}) = -\frac{10}{37} \text{€} = -0.27 \text{€} \end{equation}\]

Για κάθε δεκάρικο που παίζουμε λοιπόν περιμένουμε να χάσουμε 27 λεπτά. Το ζερό είναι αυτό που κάνει τη ζημιά: χωρίς αυτό, το παιχνίδι θα ήταν break-even. Θα ήσουν στα λεφτά σου μετά από πολλές επαναλήψεις. Το ότι υπάρχει το ζερό όμως κάνει την ρουλέτα -EV για σένα — χάνεις κατά μέσο όρο περίπου 27 λεπτά για κάθε 10 ευρώ που ποντάρεις. Αυτό είναι χειρότερο ακόμα και από το παιχνίδι με το νόμισμα που αναλύσαμε νωρίτερα, εκεί έχανες 20 λεπτά για κάθε δεκάρικο.

Μήπως συμφέρει λοιπόν να ποντάρεις σε μεμονωμένους αριθμούς;

Το στοίχημα σε μεμονωμένους αριθμούς λειτουργεί παρόμοια. Αν ποντάρεις 10 ευρώ σε έναν αριθμό (π.χ. το 6) και αυτός βγει, κερδίζεις 36 φορές το στοίχημά σου. Δηλαδή 360 ευρώ συνολικά, εκ των οποίων 350 είναι καθαρό κέρδος (αφαιρώντας τα 10 που έβαλες). Η πιθανότητα να πετύχεις το σωστό νούμερο είναι 1 στα 37.

το EV λοιπόν είναι:

\[\begin{equation} EV_{\text{αριθμός}} = \frac{1}{37} \cdot 350 \text{€} + \frac{36}{37} \cdot (-10) \text{€} = -\frac{10}{37} \text{€} = -0.27 \text{€} \end{equation}\]

Ακριβώς το ίδιο με το κόκκινο-μαύρο. Στην πραγματικότητα, ό,τι κι αν παίξεις — κόκκινο, μαύρο, μονά, ζυγά, τρίτες, στήλες, ορφανά, τριπλά, “all in στο 0” — το EV είναι –10/37 του πονταρίσματός σου. Δηλαδή –2.7% κάθε φορά που στρίβει η ρουλέτα.

Όσο πιο πολύ παίζεις, τόσο πιο κοντά φτάνεις σε αυτόν τον μέσο όρο απωλειών. Στο τέλος, θα έχεις χάσει περίπου 2.70€ για κάθε 100€ που πόνταρες. Όχι επειδή ήσουν άτυχος — αλλά επειδή έτσι είναι φτιαγμένο το παιχνίδι.

Την επόμενη φορά λοιπόν που κάποιος σου προτείνει “ένα σύστημα που δουλεύει στη ρουλέτα”, θυμήσου:

Το καζίνο δεν νοιάζεται τι ποντάρεις. Δεν τους νοιάζει πώς ποντάρεις. Τους νοιάζει μόνο ότι ποντάρεις.

Utility Theory

Με δύο προτάσεις μπορείς να αποδείξεις ότι η ρουλέτα είναι μαθηματικά κακό στοίχημα για τον παίκτη. Κι όμως, τα τραπέζια είναι πάντα γεμάτα.

Γιατί;

Μερικοί απλώς δεν το ξέρουν. Πραγματικά. Ένας συνάδελφος μού έλεγε κάποτε ότι υπάρχουν online καζίνο με και Ευρωπαϊκή και Αμερικανική ρουλέτα — και ότι αρκετοί παίκτες διαλέγουν την Αμερικανική. Αν δεν σου είναι προφανές γιατί αυτό είναι καταστροφή… το αφήνω σαν άσκηση.

Αν είσαι ένας απ’ αυτούς — καλώς ήρθες. Αυτό το επεισόδιο γράφτηκε για σένα.

Ένα άλλο κομμάτι είναι άνθρωποι με πρόβλημα εθισμού. Άτομα που χρειάζονται βοήθεια και δεν μπορούν να ελέγξουν τη συμπεριφορά τους. Κάποιοι ίσως πιστεύουν ότι “ήρθε η ώρα τους”, πως το σύμπαν/ο Θεός/το κάρμα τούς χρωστάει κι ότι μετά από τόσες ήττες, η νίκη είναι βέβαιη.

Αλλά θέλω να πιστεύω ότι αυτοί δεν είναι η πλειοψηφία. Οι περισσότεροι παίκτες πιστεύω παίζουν μια φορά στο τόσο, γνωρίζοντας ότι μάλλον θα χάσουν. Ίσως πάνε στο καζίνο με την παρέα τους στις γιορτές ή σε κάποια ιδιαίτερη περίσταση. Και αυτό είναι απόλυτα ΟΚ. Πολλά πράγματα στη ζωή είναι –EV. Το να πάρεις μια μπύρα σε ένα μαγαζί, για παράδειγμα, είναι –EV: θα την πλήρωνες φθηνότερα στο σούπερ μάρκετ ή θα μπορούσες να τη φτιάξεις μόνος σου. Όμως το utility που μου προσφέρει το να πιώ μια μπύρα με την παρέα μου σε ένα μαγαζί που μ’ αρέσει υπερισχύει του οικονομικού κόστους.

Με την ίδια λογική, αν περνάς καλά παίζοντας λίγα λεφτά στη ρουλέτα ή στο στοίχημα, και έχεις πλήρη επίγνωση του μειονεκτήματός σου (που πλέον ελπίζω πως έχεις), δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα. Δεν είναι ο τρόπος που εγώ προσωπικά θα διάλεγα για να διασκεδάσω, αλλά η διασκέδαση είναι προσωπικό πράγμα. Εφόσον δεν έχεις αυταπάτες, τι να τα δίνεις σε ποτά, τι στη ρουλέτα.

Η θεωρία που περιγράφει το πώς ένας ορθολογικός παίκτης μπορεί να επιλέξει κάτι που έχει χαμηλότερο EV αλλά μεγαλύτερο προσδοκώμενο όφελος λέγεται Expected Utility Theory. Είναι ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία στη θεωρία παιγνίων και στον τομέα του Quantitative Finance και θα μας απασχολήσει εκτενώς σε επόμενα επεισόδια.

Πριν το Τέλος

Αν έφτασες μέχρι εδώ, έχεις ήδη αποκτήσει ένα πολύτιμο εργαλείο: την αναμενόμενη τιμή. Όταν γνωρίζεις τις πιθανότητες όλων των ενδεχομένων – όπως στη ρουλέτα ή στο απλό πείραμα με το νόμισμα – μπορείς, με απόλυτη ακρίβεια, να αποφανθείς αν ένα ρίσκο είναι καλό για σένα ή αν πετάς τα λεφτά σου στα σκουπίδια.

Αλλά τι γίνεται όταν δεν ξέρεις τις πιθανότητες; Ή χειρότερα, όταν νομίζεις πως τις ξέρεις — και κάνεις λάθος;

Τι κάνεις όταν ο κόσμος δεν σου λέει την αλήθεια ευθέως; Τι συμβαίνει αν θες να μελετήσεις κάτι πιο πολύπλοκο, όπως το αποτέλεσμα ενός αγώνα ποδοσφαίρου;

Στο επόμενο επεισόδιο, θα δούμε τέτοια σενάρια, όπου οι πιθανότητες δεν είναι δεδομένες εξ’ αρχής. Θα μιλήσουμε για το αθλητικό στοίχημα, αλλά και τις πιο εξελιγμένες μορφές του: τα predictions markets. Θα συζητήσουμε για variance και πότε το αγαπημένο μας πλεόν EV δεν μας δίνει την πλήρη εικόνα. Θα μιλήσουμε για Kelly Sizing και risk neutral pricing, θα εξηγήσουμε πώς λειτουργούν πλατφόρμες όπως η Kalshi, το Polymarket και το Betfair, τι είναι το market making και πως μεγάλοι οργανισμοί παρέχουν ρευστότητα σε τέτοιες αγορές για κέρδος.

Σ’ ευχαριστώ για την προσοχή σου. Ήμουν ο Holden, και μέχρι την επόμενη φορά… Καλή τύχη^™.